Equação da circunferência

Uma circunferência é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a um centro fixo é um raio positivo. Sua equação nasce diretamente da fórmula de distância. O círculo, por sua vez, inclui a região interior e a fronteira. Essa diferença entre curva e região determina se usamos uma igualdade ou uma desigualdade.

A forma reduzida revela a geometria

Para centro $C=(h,k)$ e raio $r>0$, a equação é $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$. Os eixos devem ser ortogonais e usar a mesma unidade espacial. A distância de qualquer ponto da curva até C é r, pois a raiz da soma dos quadrados vale r.

Em $(x-2)^2+(y+3)^2=25$, o centro é (2,−3) e o raio é 5. O sinal interno precisa ser lido como diferença: $y+3=y-(-3)$. Além disso, o número 25 é o quadrado do raio, não o próprio raio. Os pontos (7,−3) e (2,2) pertencem à curva e permitem conferir as duas informações.

Complete quadrados com os sinais preservados

A forma geral normalizada é $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Agrupe os termos de x e de y, acrescentando os valores necessários para obter quadrados perfeitos dos dois lados. O centro será $(-D/2,-E/2)$, e $r^2=D^2/4+E^2/4-F$.

Considere $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. Reorganizando, $x^2-6x+y^2+4y=12$. Acrescentamos 9 e 4 aos dois membros: $(x-3)^2+(y+2)^2=25$. Portanto, C=(3,−2) e r=5. Expandir novamente fornece os termos originais e verifica o procedimento.

Se os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ forem iguais e não nulos, podemos dividir a equação inteira por esse coeficiente antes de completar quadrados. Não basta encontrar dois termos quadráticos: coeficientes diferentes ou um termo xy podem descrever outras curvas.

O resultado pode não ser uma circunferência real

Depois de completar quadrados, observe o sinal do lado direito. Se ele é positivo, há uma circunferência de raio igual à sua raiz positiva. Se é zero, o conjunto real se reduz a um único ponto, porque ambos os quadrados devem ser zero. Se é negativo, não há pontos reais.

Por exemplo, $(x-1)^2+(y+2)^2=0$ representa apenas (1,−2); a equação com lado direito −4 representa o conjunto vazio. Esses são casos degenerados ou sem solução real, não circunferências de raio positivo. Nunca tire uma raiz real de um número negativo e prossiga como se a geometria fosse a mesma.

Ponto interior, na curva ou exterior

Para um ponto P, compare $d(P,C)^2$ com $r^2$. Isso evita calcular raízes desnecessárias. Na circunferência de centro (3,−2) e raio 5, o ponto (3,0) tem distância ao quadrado 4, logo é interior ao círculo. O ponto (6,2) produz $3^2+4^2=25$ e pertence à circunferência. Já (9,−2) produz 36 e é exterior.

O círculo fechado é descrito por $(x-h)^2+(y-k)^2\le r^2$. Usar sinal estrito descreve apenas o interior. Se o problema pergunta se um ponto está “dentro”, confira se a fronteira está ou não incluída na definição adotada.

Reta secante, tangente ou exterior

Calcule a distância do centro até a reta. Se ela é menor que r, a reta é secante e encontra a circunferência em dois pontos. Se é igual, a reta é tangente e tem um ponto comum. Se é maior, a reta é exterior.

Para C=(3,−2), r=5 e a reta vertical $x=8$, a distância é $|8-3|=5$. Logo, a reta é tangente no ponto (8,−2). A reta $x=3$ passa pelo centro e corta a circunferência nas extremidades de um diâmetro. A reta $x=9$ está a seis unidades do centro e não encontra a curva.

Construir a partir de pontos

Três pontos distintos e não alinhados determinam uma única circunferência. Seu centro está no encontro de duas mediatrizes, pois deve equidistar das extremidades dos segmentos. Três pontos distintos alinhados não pertencem a uma mesma circunferência de raio finito: uma reta não pode cortá-la em três pontos diferentes.

As distâncias na geometria analítica fundamentam esses testes; cônicas amplia a comparação para elipses, parábolas e hipérboles.