Cônicas

Elipse, parábola e hipérbole podem surgir como seções planas de uma superfície cônica circular de duas folhas. Também podem ser definidas por relações de distância no próprio plano. As duas perspectivas se complementam: o corte explica a família geométrica; os focos e as equações permitem localizar seus pontos com precisão.

O corte precisa ter condições definidas

Para seções não degeneradas, o plano não passa pelo vértice do cone. Um corte fechado em uma folha produz elipse, sendo a circunferência o caso particular de plano perpendicular ao eixo. Um plano paralelo à direção de uma geratriz pode produzir parábola; um plano que corta as duas folhas produz hipérbole.

Se o plano passa pelo vértice, podem aparecer conjuntos degenerados, como um ponto, uma reta ou duas retas. Por isso, reconhecer apenas uma inclinação no desenho não basta sem observar a posição do plano. Uma circunferência é um caso especial de elipse, não uma elipse “defeituosa”.

Elipse: soma de distâncias constante

Uma elipse é o conjunto dos pontos P para os quais $PF_1+PF_2=2a$, com dois focos fixos e $2a$ maior que a distância entre eles. Para centro na origem e eixo maior horizontal, sua forma padrão é $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, com $a>b>0$.

Os vértices principais são $(\pm a,0)$ e os focos são $(\pm c,0)$, com $c^2=a^2-b^2$. Os comprimentos dos eixos são $2a$ e $2b$, não a e b. Na equação $x^2/25+y^2/9=1$, temos a=5, b=3 e c=4. Os focos são (−4,0) e (4,0), e a soma das distâncias focais vale 10.

O ponto (0,3) confirma a definição: sua distância a cada foco é 5. A excentricidade $e=c/a$ vale 4/5 e fica entre zero e um. No caso circular, a=b, os focos coincidem no centro e e=0. Se o maior denominador está sob $y^2$, o eixo maior é vertical.

Parábola: foco e diretriz

A parábola é o conjunto dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta diretriz que não contém esse foco. Para $y^2=4px$, com $p\ne0$, o vértice é a origem, o foco é (p,0) e a diretriz é $x=-p$. Seu eixo de simetria é horizontal.

Em $y^2=8x$, temos p=2: foco (2,0) e diretriz $x=-2$. O ponto (2,4) pertence à curva. Sua distância ao foco é 4, e sua distância à diretriz também é 4. Essa igualdade verifica a geometria sem depender de um esboço.

Na forma $x^2=4py$, a abertura é vertical. Se p>0, abre para cima; se p<0, para baixo. Não confunda o parâmetro focal p com o coeficiente de x² na escrita como função: em $y=Ax^2$, temos $p=1/(4A)$, para $A\ne0$.

Hipérbole: diferença em módulo constante

A hipérbole reúne pontos P para os quais $|PF_1-PF_2|=2a$, com $0<2a<2c$, sendo $2c$ a distância entre os focos. Para centro na origem e eixo real horizontal, a forma padrão é $x^2/a^2-y^2/b^2=1$, com a,b positivos e $c^2=a^2+b^2$.

A excentricidade é $e=c/a>1$. A curva tem dois ramos e vértices $(\pm a,0)$. Para $x^2/9-y^2/16=1$, os focos são $(\pm5,0)$, os vértices são $(\pm3,0)$ e as assíntotas são $y=\pm(4/3)x$. No vértice (3,0), as distâncias focais são 8 e 2; a diferença vale 6=2a.

As assíntotas indicam direções das quais os ramos se aproximam longe do centro; não são partes da hipérbole. Quando o termo positivo é o de $y^2$, a abertura fica no eixo vertical. O eixo real não é decidido apenas pelo maior denominador.

Translação e propriedades ópticas

Trocar x por x−h e y por y−k desloca o centro ou vértice para (h,k), mantendo a orientação dos modelos anteriores. Equações com termo xy podem exigir rotação de eixos, além de translação; as formas padrão sem esse termo não cobrem diretamente todos os casos.

Em modelos ideais de reflexão, raios paralelos ao eixo de uma parábola refletem na direção de seu foco, e raios que partem de um foco de uma elipse convergem para o outro. Essas propriedades dependem da forma refletora e das leis de reflexão; uma curva apenas parecida não garante o mesmo resultado.

A equação da circunferência detalha o caso circular; as distâncias permitem conferir as definições focais.