Áreas de figuras planas

Comprar piso, estimar uma região num mapa e comparar superfícies exigem medir área. A área descreve a extensão de uma região plana; o perímetro mede seu contorno. As duas grandezas têm unidades diferentes e podem variar de maneiras diferentes.

Uma estratégia eficaz é decompor uma figura em partes conhecidas ou completá-la até formar uma figura maior, subtraindo o que sobra. As fórmulas tradicionais podem ser entendidas pela mesma ideia: recortar e reorganizar conserva área quando não há perdas nem sobreposições.

Unidade de área e conversão

Um quadrado de lado 1 m tem área de 1 m². Como cada lado mede 100 cm, ele contém $100\cdot100=10000$ quadrados de 1 cm². Por isso, $1$ m² equivale a $10000$ cm², não a 100 cm².

Antes de multiplicar duas medidas, expresse ambas na mesma unidade. Um retângulo de 2 m por 50 cm tem área $2\cdot0{,}5=1$ m². Multiplicar os números 2 e 50 sem tratar as unidades não fornece automaticamente 100 m².

Do retângulo ao paralelogramo

Para entender o paralelogramo, imagine cortar um triângulo de uma extremidade e transportá-lo para a outra. Forma-se um retângulo com a mesma base e a mesma altura. O lado oblíquo não é, em geral, a altura; substituí-lo por $h$ altera a área incorretamente.

Dois paralelogramos podem ter a mesma base e altura, mas inclinações diferentes. Sua área permanece igual, embora seus perímetros possam ser diferentes.

Triângulos e trapézios

Duas cópias congruentes de um triângulo podem formar um paralelogramo. Logo,

$$A_{\text{triângulo}}=\frac{bh}{2}.$$

A altura deve corresponder à base escolhida. Em um triângulo obtusângulo, o pé da altura pode cair no prolongamento da base; a distância continua sendo perpendicular.

Duas cópias de um trapézio, uma girada, formam um paralelogramo cuja base é a soma das bases originais. Assim,

$$A_{\text{trapézio}}=\frac{(B+b)h}{2}.$$

Um trapézio de bases 12 e 8 e altura 5 tem área $(12+8)\cdot5/2=50$ unidades quadradas. A altura não deve ser confundida com um lado oblíquo.

Losango, círculo e setor

As diagonais perpendiculares de um losango dividem-no em quatro triângulos. Somar suas áreas leva a $A=Dd/2$. Com diagonais 10 e 6, a área é 30, não 60.

Um círculo de raio $r$ tem área $\pi r^2$. Se o problema fornece o diâmetro, divida-o por 2 antes de usar a fórmula. Um setor de ângulo central $\theta$ em graus ocupa a fração $\theta/360°$ do círculo:

$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360°}\pi r^2.$$

Decompor ou completar

Considere uma região em forma de L obtida de um retângulo de 8 m por 6 m ao retirar um canto retangular de 3 m por 2 m. Sua área é $8\cdot6-3\cdot2=42$ m². Outra estratégia é dividi-la em dois retângulos sem sobreposição; a soma precisa dar o mesmo resultado.

Marque cada medida no desenho e procure comprimentos que podem ser encontrados por soma ou diferença. Não conte duas vezes uma região comum. Em figuras curvas, separar um retângulo e um semicírculo pode ser mais simples que tentar uma fórmula única inexistente.

Área não determina perímetro

Um retângulo de lados 2 e 8 tem área 16 e perímetro 20. Um quadrado de lado 4 também tem área 16, mas perímetro 16. Ter a mesma área, portanto, não garante o mesmo contorno; o raciocínio inverso também não vale em geral.

Na ampliação de figuras semelhantes por fator $k$, os comprimentos multiplicam por $k$, mas a área por $k^2$. Dobrar todos os lados quadruplica a área. Essa distinção é essencial para plantas e reproduções.

Finalize identificando a região solicitada, a unidade quadrada e as condições usadas. Um segundo cálculo por outra decomposição, quando disponível, é uma boa forma de verificar a solução.